ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ КЛАСС

-естественное сопоставление с каждым расслоением (как правило, векторным) определенного типа нек-рого класса когомологий базы В(наз. X. к. данного расслоения). Естественность означает, что X. к. расслоения, индуцированного отображением совпадает с образом при X. к. расслоения над В. Характеристический класс многообразия - класс когомологий многообразия, являющийся X. к. его касательного расслоения. X. к. многообразий связаны с важными топологич. характеристиками многообразий, такими, как ориентируемость, эйлерова характеристика, сигнатура и т. д.

Примеры.
Ориентируемость расслоения. Имеет место точная последовательность групп

Отображение

сопоставляет с каждым действительным векторным расслоением класс к-рый наз. первым классом IIIтифеля - Уитни расслоения здесь - когомологий с коэффициентами в пучке ростков непрерывных функций со значениями в (см. G-Расслоение). Точная когомологич. последовательность показывает, что группа расслоения редуцируется к т.е. расслоение ориентируемо тогда и только тогда, когда
Первый класс Чжэня. Дана короткая точная последовательность

Связывающий гомоморфизм соответствующей когомологич. последовательности сопоставляет с каждым одномерным комплексным расслоением над Вдвумерный класс когомологий базы В, наз. первым классом Чжэня расслоения и обозначаемый Иными словами, если -функции перехода расслоения то выбором произвольных значений логарифмов получается двумерный целочисленный коцикл

и есть по определению класс когомологий этого коцикла.
Спинорная структура. Имеет место точная последовательность групп

где -группа, определяемая в теории Клиффорда алгебр. Связывающее отображение соответствующей когомологич. последовательности наз. вторым классом Штифеля - Уитни. Структурная группа ориентированного векторного расслоения может быть редуцирована к тогда и только тогда, когда
Класс Эйлера. Пусть база Вдействительного векторного расслоения есть гладкое компактное N-мерное многообразие с краем (возможно пустым), и нулевое сечение приведено в лобщее положение с самим собой